Вероятность заточки

[Redstone]

Все расчеты и доказательства размещены на правах ТЕОРИИ.

1. Введение.
Этот гайд является дополнением к основному руководству по заточкам. Здесь рассчитываются вероятности успеха при осуществлении попыток улучшить оружие миражами и различными камнями из игрового магазина. Гайд также включает математическую часть, которая содержит доказательственную базу полученных результатов. Важным допущением является баланс игрового мира ПВ в отношении стоимости каждого уровня заточки. Рассуждения приводятся лишь для доказательства достоверности расчетов. Те, для кого матчасть не представляет особого интереса, могут обратиться к таблице вероятностей в конце руководства. На случай возникновения конфликта с моноширинными шрифтами текстовый вариант таблицы продублирован в виде рисунка.

2. Что есть в руководстве, и чего нет.
Все рассматриваемые случаи предполагают улучшение оружия, доспехов или бижутерии с использованием одного из предметов игрового магазина: небесного камня, подземного камня, камня мироздания или жемчужины (шара дракона).
Здесь нет информации о вероятностях заточки чистыми миражами. Также здесь не описано изменение вероятностей после получения наводок от Вея Сяобао. Советы глашатая города Драконов могут быть полезны, в основном, для членов кланов, владеющих территориями, так как обычно Вей говорит о правителях отдельной области, а не о старейшинах. Правители не будут разговаривать ни с кем, кроме своего владельца.

3. Камень мироздания.
Все началось в одно прекрасное утро, когда один из сокланов поделился со мной соображениями, что лучше всего точить снаряжение сначала жемчужинами, а потом камнями мира. Последовав его совету, я с удовольствием пропалил хорошую пачку камней и миражей, безуспешно пытаясь очистить свое оружие до 4го уровня, после чего зарекся тратить деньги на подобные развлечения.
Но по завершению эксперимента мне вдруг открылась таблица вероятностей успешного использования этого самого камня, которую раньше почему-то не замечал…

4. Количество требуемых камней.
Оставив рассуждения о ВКР и особенностях удачного расположения планет, перейдем непосредственно к теории, изучающей подобные явления – теории вероятностей. Даже без особого знания математики, можно легко заметить, что при вероятности успеха 1/4 в среднем требуется 4 камня мироздания на очистку с 1-го уровня до 2-го, а для очистки до 3-го уровня – 10 камней. Что, впрочем, и неудивительно. Однако мы попробуем разобрать эти случаи более подробно, так все дальнейшие рассуждения будут строиться подобным образом.
Итак, предположим, что мы хотим заточить экипировку на +k, и при этом она уже заточена до уровня k-1. Обозначим p – вероятность успешной заточки на +k (берется из таблицы, приведенной выше), а q – вероятность неудачи. Очевидно, p + q = 1 (вероятность представляется числом из интервала [0; 1]). Обозначим X искомую переменную, т.е. то количество камней мироздания, которое будет затрачено до первой успешной заточки.
Теперь рассмотрим, что происходит при каждой попытке очистить оружие. На первом шаге пропадает один камень. Возможны два случая: уровень очистки увеличился или остался прежним. Если нам повезло, то эксперимент прекращается. И тогда можно записать, что:

Читается это так: вероятность того, что для заточки будет потрачен один камень мироздания, равна p. Если же очистка не удалась, то придется потратить еще один камень. И вероятность того, что второй шаг окажется успешным, будет q*p (вероятность одновременного выпадения двух событий является произведением их вероятностей):

В том случае, если заточка снова оказалась неудачной, то последующие шаги будут аналогичными. И вероятности для всех остальных значений X рассчитываются таким же образом, т.е. на каждом шаге вероятность исхода умножается на q:

Такой закон распределения случайной величины X в теории вероятностей называется геометрическим распределением.

5. Математическое ожидание.
Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины X (обозначается MX) называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

Теперь перейдем непосредственно к тому, ради чего была запущена вся карусель. Математическое ожидание количества затраченных камней для заточки – это как раз то самое среднее значение, о котором было сказано в начале п.4. Таким образом, необходимо посчитать математическое ожидание геометрического распределения:

Это выражение является бесконечной суммой, но вычислить его, тем не менее, можно. Необходимо лишь заметить, что, вынеся p из-под знака суммы, получим производную степенной функции. После чего посчитать соответствующее значение ряда не составит труда.

Под дифференциалом стоит сумма бесконечной геометрической прогрессии. Подставив вместо нее выражение по известной формуле, получим:

Таким образом, математическое ожидание случайной величины с геометрическим распределением вероятности равняется 1/p. Применительно к нашей задаче это означает, что в среднем на одну успешную очистку снаряжения до уровня m тратится ровно 1/p камней мироздания.
Оформим все полученные результаты на данном этапе в виде таблицы:

|=================================================|
|       |            Камень мироздания            |
|Уровень|-----------------------------------------|
|очистки|Вероятность|MX для заточки|MX для заточки|
|       |  успеха   | на 1 уровень |    с нуля    |
|-------------------------------------------------|
|   1   | 100 %     | 1            | 1            |
|   2   | 1/4       | 4            | 5            |
|   3   | 1/10      | 10           | 15           |
|   4   | 1/25      | 25           | 40           |
|   5   | 1/60      | 60           | 100          |
|   6   | 1/130     | 130          | 230          |
|   7   | 1/215     | 215          | 445          |
|   8   | 1/405     | 405          | 850          |
|   9   | 1/750     | 750          | 1600         |
|   10  | 1/1370    | 1370         | 2970         |
|   11  | 1/2525    | 2525         | 5495         |
|   12  | 1/4645    | 4645         | 10140        |
|=================================================|

6. Общие затраты и жемчужины.
Пользуясь полученной таблицей, довольно нетрудно посчитать стоимость соответствующего уровня заточки в золотых. Исходя из цены на 1 камень в 50 серебряных монет, получим, что средняя цена очистки 2-го уровня стоит 2 золотых, а 3-го уровня – 5 золотых. Вам ничего не напоминает?
В игровом магазине продаются жемчужины, которые дают однократное 100-процентное улучшение снаряжения. Если вы попробуете рассчитать стоимость жемчуга высоких уровней, то увидите, что затраты на них совпадают со средней стоимостью очистки с помощью камней мироздания. Более того, на первом уровне даже камень действует как жемчужина. Но здесь есть один нюанс…
Вы никогда не задумывались, почему 10 камней стоят 4,5 голда, в то время как 10 жемчужин 1-го уровня стоят 5 золотых? Что же получается? Фактически, игровая система предоставляет вам право выбора: либо оплатить весь размер суммы сразу, либо покупать заточку постепенно с некоторым шансом экономии. Но во втором случае как азартному игроку вам возвращается 10% от общей стоимости (если, конечно, вы покупаете камешки пачками). С другой стороны, не забывайте, что с каждой попыткой улучшения снаряжения пропадает 1 мираж. Сравнимы ли будут затраты на них с этими десятью процентами?
Ниже в таблице представлена расчетная стоимость очистки с помощью жемчужин, выраженная в золотых.

|==================================================|
|       |               Шар дракона                |
|Уровень|------------------------------------------|
|очистки|Вероятность|Стоимость шара|Общая стоимость|
|       |  успеха   |нужного уровня|    заточки    |
|--------------------------------------------------|
|   1   | 100 %     |    0,50      |    0,50       |
|   2   | 100 %     |    2,00      |    2,50       |
|   3   | 100 %     |    5,00      |    7,50       |
|   4   | 100 %     |   12,50      |   20,00       |
|   5   | 100 %     |   30,00      |   50,00       |
|   6   | 100 %     |   65,00      |  115,00       |
|   7   | 100 %     |  107,50      |  222,50       |
|   8   | 100 %     |  202,50      |  425,00       |
|   9   | 100 %     |  375,00      |  800,00       |
|   10  | 100 %     |  685,00      | 1485,00       |
|   11  | 100 %     | 1262,50      | 2747,50       |
|   12  | 100 %     | 2322,50      | 5070,00       |
|==================================================|

7. Игровой баланс.
Подведем итоги на данный момент. Что вы узнали нового о заточке? Да в общем-то ничего, абсолютно. Все написанное выше можно найти и во многих других гайдах, посвященных игровой механике Идеального мира. Но дело в том, что дальнейшие рассуждения покажутся бессмысленными без такого длинного вступления. Которые, собственно, и начинаются здесь.
Итак, мы уже выяснили, что независимо от выбора предмета, с помощью которого будет очищаться снаряжение, средняя стоимость затрат остается неизменной. Но пока что мы рассмотрели лишь два возможных варианта, а игровой магазин предлагает аж четыре камня на выбор. И при этом все они стоят одинаково. Тогда напрашивается следующий вывод: если камни не различаются в цене, тогда и среднее их количество, требуемое на отдельный уровень заточки, не должно зависеть от типа камня. А ведь иначе был бы нарушен главный принцип, который пропагандирует динамика Идеального мира: идеальный баланс везде и во всем. Если бы один из камней требовал меньших затрат на улучшение, то многие игроки почувствовали бы это. Природа человека устроена так, что он подсознательно способен улавливать тончайшие изменения в своем окружении.
Другими словами, если равновесие сместится в сторону одного из камней, остальные просто станут бесполезными.
Что это дает? Все очень просто. Зная необходимое количество камней в среднем и принцип их действия, можно рассчитать таблицу вероятностей их успешной заточки для каждого уровня. В том виде, как это было для камня мироздания. Результаты окажутся неожиданными…

8. Небесный камень.
Прежде чем приступать к непосредственным расчетам, отметим еще один момент. Вероятность заточки с помощью камня мироздания на первом уровне равна 100%. Стоимость жемчужины равна стоимости каждого из камней. Основываясь на выше приведенных рассуждениях, логичен вывод, что очистка первого уровня с использованием любого из камней равна 100%. У вас когда-нибудь было неудачное улучшение +1 небесным камнем? А подземным? Или вы даже не рискуете и всегда покупаете жемчужину? Был такой известный телеведущий. Ходил по квартирам со стиральным порошком и задалбывал всех одним вопросом…
Принцип действия небесного камня довольно прост: шанс успеха при улучшении снаряжения повышен, но в случае неудачи уровень очистки падает до нуля.
Итак, рассмотрим улучшение с нуля до второго уровня. Первая попытка всегда пройдет успешно. Рассуждения на втором шаге аналогичны: если повезло, то вероятность затраты двух камней – p, если же попытка неудачна, то предпринимаем еще одну. И теперь вероятность использования четырех камней – p*q. Распределение, как нетрудно заметить, осталось геометрическим. Изменились лишь значения, которые принимает величина X:

Индекс в данном случае означает вероятность успеха соответствующего уровня очистки. Математическое ожидание X известно – по таблице камня мироздания оно равно 5. А выражение MX для геометрической прогрессии уже найдено. Только в этом случае за знак суммы выносится 2p и коэффициент 2 останется после преобразований. Получаем обратную задачу: по известному MX найти p:

Отсюда нетрудно вычислить, что p = 2/5 или 40%.
Во всех последующих случаях мы не будем строить длинные цепочки успехов и неудач на разных уровнях. Поступим хитро: известно, что для заточки снаряжения до +2 требуется в среднем 5 камней. Следовательно, чтобы попробовать один раз улучшить вещь на +3, нужно потратить на 1 камень больше – в среднем 6. А математическое ожидание затраченных камней до 3-го уровня равно 15. Получаем следующую задачу:

Проведя аналогичные расчеты, получаем, что p = 6/15 = 2/5. Опять же, 40%.
Как вы можете заметить, прогрессия вероятностей в таблице камня мироздания не равномерная. Поэтому и здесь в дальнейшем будут неодинаковые результаты. Позволю себе опустить вереницу расчетов и приведу конечные результаты. Все полученные данные выражены в процентах и округлены до сотых долей процента.

|=================================================|
|       |             Небесный камень             |
|Уровень|-----------------------------------------|
|очистки|Вероятность|MX для заточки|MX для заточки|
|       |  успеха   | на 1 уровень |    с нуля    |
|-------------------------------------------------|
|   1   | 100    %  | 1            | 1            |
|   2   | 40     %  | 4            | 5            |
|   3   | 40     %  | 10           | 15           |
|   4   | 40     %  | 25           | 40           |
|   5   | 41     %  | 60           | 100          |
|   6   | 43,91  %  | 130          | 230          |
|   7   | 51,91  %  | 215          | 445          |
|   8   | 52,47  %  | 405          | 850          |
|   9   | 53,19  %  | 750          | 1600         |
|   10  | 53,91  %  | 1370         | 2970         |
|   11  | 54,07  %  | 2525         | 5495         |
|   12  | 54,2   %  | 4645         | 10140        |
|=================================================|

9. Подземный камень.
Остался единственный вариант заточки, принцип действия которого состоит в том, что в случае неудачи теряется только один уровень очистки.
Расчеты вероятности для 2-го уровня остаются без изменения – 40%.
В дальнейшем отправной точкой будем считать не нулевой уровень очистки, а на 2 меньший целевого. То есть если необходимо улучшить снаряжение до 3-го уровня, используя подземные камни, то берем 1-й уровень заточки. Тогда для перехода с первого на второй требуется в среднем 4 камня, а значит для одной попытки перехода на третий – 5. Матожидание камней для перехода с первого на третий (смотрим таблицу) – 14.

Отсюда p = 5/14, что приблизительно составляет 35,71%. Это уже немного меньше, чем в предыдущем случае. Задача для 4-го уровня строится аналогично.

Отсюда p составляет около 31,43%.
И как всегда, завершаю таблицей.

|=================================================|
|       |            Подземный камень             |
|Уровень|-----------------------------------------|
|очистки|Вероятность|MX для заточки|MX для заточки|
|       |  успеха   | на 1 уровень |    с нуля    |
|-------------------------------------------------|
|   1   | 100    %  | 1            | 1            |
|   2   | 40     %  | 4            | 5            |
|   3   | 35,71  %  | 10           | 15           |
|   4   | 31,43  %  | 25           | 40           |
|   5   | 30,59  %  | 60           | 100          |
|   6   | 31,58  %  | 130          | 230          |
|   7   | 37,97  %  | 215          | 445          |
|   8   | 34,84  %  | 405          | 850          |
|   9   | 35,15  %  | 750          | 1600         |
|   10  | 35,42  %  | 1370         | 2970         |
|   11  | 35,2   %  | 2525         | 5495         |
|   12  | 35,23  %  | 4645         | 10140        |
|=================================================|

10. Финал.
Итак, у нас выходит довольно интересная картина.
Использование небесного камня приводит к тому, что шанс успеха все время растет с увеличением уровня снаряжения, пусть и незначительно. После +6 он вообще не падает ниже 50%! По сравнению с камнем мироздания очень внушает – половина шара дракона, если можно так выразиться. А шанс успеха подземного камня пляшет около 35%. Фактически, при каждой третьей попытке снаряжение очищается успешно. Выглядит все очень обнадеживающе… Но не спешите сжигать все состояние на заточке, лишь разок заглянув в таблицу. Подвох кроется в матчасти, которую я постарался разобрать максимально подробно.
Напоследок еще одно замечание. В описании подземного камня сказано, что вероятность заточки слегка завышена. А камень мироздания, как известно, занижает ее. Тогда получается, что вероятность заточки чистыми миражами лежит где-то между ними. 20%? 30%? Решать вам…
И в довершение сводная таблица всех проведенных расчетов.

|=====================================================================================================|
|       |        Вероятность успеха      |      Количество камней      |         Шар дракона          |
|Уровень|--------------------------------|-----------------------------|------------------------------|
|очистки|  Камень  | Небесный |Подземный |MX для заточки|MX для заточки|Стоимость шара|Общая стоимость|
|       |мироздания|  камень  |  камень  | на 1 уровень |    с нуля    |нужного уровня|    заточки    |
|-------|--------------------------------|-----------------------------|------------------------------|
|   1   | 100 %    | 100    % | 100    % | 1            | 1            |    0,50      |    0,50       |
|   2   | 1/4      | 40     % | 40     % | 4            | 5            |    2,00      |    2,50       |
|   3   | 1/10     | 40     % | 35,71  % | 10           | 15           |    5,00      |    7,50       |
|   4   | 1/25     | 40     % | 31,43  % | 25           | 40           |   12,50      |   20,00       |
|   5   | 1/60     | 41     % | 30,59  % | 60           | 100          |   30,00      |   50,00       |
|   6   | 1/130    | 43,91  % | 31,58  % | 130          | 230          |   65,00      |  115,00       |
|   7   | 1/215    | 51,91  % | 37,97  % | 215          | 445          |  107,50      |  222,50       |
|   8   | 1/405    | 52,47  % | 34,84  % | 405          | 850          |  202,50      |  425,00       |
|   9   | 1/750    | 53,19  % | 35,15  % | 750          | 1600         |  375,00      |  800,00       |
|   10  | 1/1370   | 53,91  % | 35,42  % | 1370         | 2970         |  685,00      | 1485,00       |
|   11  | 1/2525   | 54,07  % | 35,2   % | 2525         | 5495         | 1262,50      | 2747,50       |
|   12  | 1/4645   | 54,2   % | 35,23  % | 4645         | 10140        | 2322,50      | 5070,00       |
|=====================================================================================================|

P.S. Выражаю огромную благодарность всем, кто дожил до этих строчек гайда. Если его вообще можно назвать таковым. Желаю неиссякаемого азарта и успехов в покорении удачи!

P.P.S. Если все таблицы у вас скачут или отображаются криво, то значит на вашем компьютере не установлен моноширинный шрифт, который используется в этой статье. Пользуйтесь графической версией в приложении.

[Neoka]

Отлично! Значит лучше использовать небесные камни, так?

[sonya711]

Лобачевский просто отдыхает. Автор молодец.
Чтож, хитрые китайцы постарались, как не точи, а на деньги попадёшь всё равно.

[halk94]

афтор рулит)) оч интересная темка)

[greenrus07]

Так, значит, в случае неудачи с небесным камнем очистка падает до нуля, так сказано? Тогда резон им точить, если в любой момент все может пойти насмарку? Или я что-то упустил?

[Assus911]

брат мне этого на учёбе хватает пощади!!
но молоток да ап те

[DiProof]

точусь тупо миражами(3 шмотки +4, остальное +3)...как по мне гайд неочем, автор так писал мучался а в игре это проходит за секунды

[Whisper87]

Даже не касаясь формул, а чисто по шансам заточки. В табличках указан шанс заточки на конкретном шаге а не вообще. Ведь понятно, что если у тебя на втором шаге шанс 40% то, что бы точнуть с 0 до 3-х шанс явно не будет те же 40% а будет еще ниже.

[K326]

Автор явно не нуб, но все же, насколько мне известно, шанс успешной заточки уменьшается с каждым уровнем ее. Хотя можно будет попробовать проверить....

[Flame-boy]

Да, автор постарался, честь и хвала).Прошу занести тему в список гайдов.